5岐阜大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) $\tan\alpha$ と $\tan\beta$ が定義されているので $\cos\alpha\ne0,\ \cos\beta\ne0$ である。加法定理より $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta(1-\tan\alpha\tan\beta)=0$。よって cos(α+β)=0 であり、ある整数$k$ に対して $\displaystyle \alpha+\beta=k\pi+\frac\pi2$ となる。

(2) $t=\tan x$ とすると、加法定理から $\displaystyle \tan2x=\frac{2t}{1-t^2}$、したがって $\displaystyle \tan3x=\frac{\tan2x+t}{1-t\tan2x}=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}$。また $\displaystyle -\frac\pi6<x<\frac\pi6$ より $\displaystyle -\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}$ で、分母$1-3t^2$は正である。

(3) 交点では $c\tan x=\tan3x$。$t=\tan x$ とおくと、$t=0$はどんな実数$c$でも解である。$t\ne0$の場合は両辺を$t$で割って$\displaystyle c=\frac{3-t^2}{1-3t^2}$を得る。$u=t^2$ とおけば $\displaystyle 0<u<\frac13$ であり、$\displaystyle c-3=\frac{8u}{1-3u}>0$ だから、この場合は必ず $c>3$。逆に $c>3$ なら式を解いて $\displaystyle u=\frac{c-3}{3c-1}$ と定まり、$u>0$かつ$\displaystyle u<\frac13$ である。したがって $t=\pm\sqrt u$ の異なる2解があり、これに$t=0$を加えて交点は$3$個。$c\le3$ では非零解がないため交点は$t=0$の1個だけである。$\tan x$は対象区間で一対一なので、$t$の解の個数は交点数と一致する。