5東邦大学 2015年 数学 第5問解答・解説

図の $D$ は二つの三等分線のうち $B$ に遠い方にある。$\alpha=\angle C$ とすると、$0<\alpha<\pi/2$ であり、$\angle BCD=2\alpha/3$ である。実際、$B$ に近い交点までの距離は $2\tan(\alpha/3)<2/\sqrt3<2$ だが、$BD=8/3>2$ なので $D$ は遠い方の交点である。

直角三角形 $BCD$ で $$\displaystyle \tan\frac{2\alpha}{3}=\frac{BD}{BC}=\frac{8/3}{2}=\frac43.$$ $t=\tan(\alpha/3)$ とおくと $$\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}=\frac43, \qquad 2t^2+3t-2=0.$$ $t>0$ より $t=1/2$。三倍角の公式から $$\displaystyle \tan\alpha=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=\frac{11}{2}.$$ よって直角三角形 $ABC$ で $AB=BC\tan\alpha=11$。したがって $$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{11^2+2^2}=\sqrt{125}=5\sqrt5.$$ ゆえに $\boxed{\text{サ}}=5,\ \boxed{\text{シ}}=5$。