9東邦大学 2015年 数学 第9問解答・解説

$\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ を基底とし，$\overrightarrow{BE}=p\overrightarrow{BA}+q\overrightarrow{BC}$ とおく。 三角形 $ABC$ は非退化なので，この二つのベクトルは一次独立である。点 $B$ を原点とする位置ベクトルで考えると， $$\overrightarrow{AE}=(p-1)\overrightarrow{BA}+q\overrightarrow{BC}.$$ $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AD}$ より $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$ だから $$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} =(2p-1)\overrightarrow{BA}+2q\overrightarrow{BC}.$$ また $\displaystyle \overrightarrow{BF}=\frac13\overrightarrow{BE}$ より $$\displaystyle \overrightarrow{BF}=\frac p3\overrightarrow{BA}+\frac q3\overrightarrow{BC}.$$

したがって $$\displaystyle \overrightarrow{CD}=(2p-1)\overrightarrow{BA}+(2q-1)\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{CF}=\frac p3\overrightarrow{BA}+\left(\frac q3-1\right)\overrightarrow{BC}.$$ 条件 $\displaystyle \overrightarrow{CD}=\frac35\overrightarrow{CF}$ と一次独立性から，係数を比較して $$\displaystyle 2p-1=\frac p5,\qquad 2q-1=\frac q5-\frac35.$$ よって $$9p=5,\qquad 9q=2,$$ すなわち $\displaystyle p=\frac59,\ q=\frac29$ である。したがって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{BE}=\frac59\overrightarrow{BA}+\frac29\overrightarrow{BC}}.$$ これは $\text{ケ}=5,\ \text{コ}=9,\ \text{サ}=2,\ \text{シ}=9$ に対応する。さらに $p,q>0$ かつ $\displaystyle p+q=\frac79<1$ なので，得られた点 $E$ は三角形の内部にあり条件とも整合する。