11東邦大学 2015年 数学 第11問解答・解説

正の数 $$u=3^{2x+y},\qquad v=3^{2x-y}$$ を置くと、与式は $$\displaystyle f(x,y)=9u+\frac3u+v+\frac{27}{v}$$ と書ける。相加平均・相乗平均の関係から $$\displaystyle 9u+\frac3u\ge 2\sqrt{27}=6\sqrt3, \qquad v+\frac{27}{v}\ge 2\sqrt{27}=6\sqrt3.$$ したがって $f(x,y)\ge12\sqrt3$。

等号が成り立つには、同時に $$\displaystyle 9u=\frac3u,\qquad v=\frac{27}{v}$$ であればよい。これは $$\displaystyle u=\frac1{\sqrt3}=3^{-1/2},\qquad v=\sqrt{27}=3^{3/2}$$ と同値だから $$\displaystyle 2x+y=-\frac12,\qquad 2x-y=\frac32.$$ これを解くと $\displaystyle x=\frac14,\ y=-1$。この組で両方の不等式が等号となるため、最小値は $$\boxed{12\sqrt3}$$ であり、達成点は $$\displaystyle \boxed{(x,y)=\left(\frac14,-1\right)}.$$