12東邦大学 2015年 数学 第12問解答・解説

$X$は$x$軸を軸とする半径1の円柱、$Y$は$y$軸を軸とする半径1の円柱である。高さ$z$を固定すると、共通部分では $$-\sqrt{1-z^2}\le x\le\sqrt{1-z^2},\qquad -\sqrt{1-z^2}\le y\le\sqrt{1-z^2}$$ となる（$|z|\le1$）。この断面は一辺$2\sqrt{1-z^2}$の正方形だから $$\displaystyle V=\int_{-1}^1 4(1-z^2)\,dz =4\left[z-\frac{z^3}{3}\right]_{-1}^1 =\frac{16}{3}.$$

正方形をx軸のまわりに回すと、x方向の長さが2で半径1の円柱になります。y軸まわりの回転も同様に半径1の円柱です。zを固定すると、共通部分のxとyはどちらも$-\sqrt{1-z^2}$から$\sqrt{1-z^2}$まで動けるので、断面は一辺 $2\sqrt{1-z^2}$の正方形です。その断面積を$z=-1$から$1$まで積分すると$\displaystyle \frac{16}{3}$です。