東邦大学 2015年数学第7問解答・解説

指数関数・対数関数微分法

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1問題

東邦大学2015年度第7問

$e$ を自然対数の底とする。関数 $f(x)=(e^{x})^{e^{x}}$ は， $x=\boxed{\text{オカ}}$ のとき極値をとる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

底 $e^x$ は常に正なので、対数をとると $\log f(x)=e^x\log(e^x)=xe^x, \qquad f(x)=e^{xe^x}.$ したがって $f'(x)=e^{xe^x}\cdot e^x(x+1).$ $e^{xe^x}>0$ かつ $e^x>0$ なので、 $f'(x)$ の符号は $x+1\text{ の符号}$ と同じである。よって $x<-1$ では $f'(x)<0$ 、 $x>-1$ では $f'(x)>0$ となり、 $x=-1$ で減少から増加に変わる。したがって極小値を $\text{とる }x\text{ は}$ $\boxed{-1}.$

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
指数関数のグラフ・増減
対数とその性質
指数・対数関数の微分
積の微分
導関数と増減

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