8東邦大学 2015年 数学 第8問解答・解説

$\omega$=$\displaystyle \frac{\sqrt3-i}{2}$ とおく。問題の右辺は $\omega^{104}$ である。複素数の積を直接計算すると $$\displaystyle \omega^2=\frac{1-\sqrt3 i}{2},\qquad \omega^4=\frac{(1-\sqrt3 i)^2}{4}=\frac{-1-\sqrt3 i}{2},$$ $$\displaystyle \omega^8=\frac{(-1-\sqrt3 i)^2}{4}=\frac{-1+\sqrt3 i}{2},\qquad \omega^{12}=\omega^4\omega^8=\frac{(-1-\sqrt3 i)(-1+\sqrt3 i)}{4}=1.$$ ここで $104=12\cdot 8+8$ なので $$\displaystyle \omega^{104}=(\omega^{12})^8\omega^8=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}.$$ これを与式に代入すると $$\displaystyle \left(1-\frac{i}{2}\right)x-8+\frac{\sqrt3}{2}i=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,$$ したがって $\displaystyle \left(1-\frac{i}{2}\right)x=\frac{15}{2}$。$x=a+bi$ として左辺を実部・虚部に分けると $$\displaystyle \left(1-\frac{i}{2}\right)(a+bi)=\left(a+\frac b2\right)+\left(b-\frac a2\right)i=\frac{15}{2}.$$ よって $\displaystyle a+\frac b2=\frac{15}{2}$、$\displaystyle b-\frac a2=0$。後者より $\displaystyle b=\frac a2$、これを前者に代入して $\displaystyle \frac54a=\frac{15}{2}$ だから $a=6$、$b=3$。従って $\boxed{\text{キ}}=6$、$\boxed{\text{ク}}=3$。