2大分大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $$\begin{aligned} x^4+x^2+1&=(x^2+x+1)(x^2-x+1). \end{aligned}$$ したがって、二つの二次方程式を解くと $$\displaystyle \begin{aligned} x^2+x+1=0&\quad\text{より}\quad x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2},\\ x^2-x+1=0&\quad\text{より}\quad x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}. \end{aligned}$$ 実部と虚部の符号で指定された順に並べると、 $$\displaystyle \begin{aligned} x_1&=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},&x_2&=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},&x_3&=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},&x_4&=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}. \end{aligned}$$

(2) $$\displaystyle \begin{aligned} x_1^2&=\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{1+2\sqrt{3}i-3}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\\ x_1^3&=x_1x_1^2=\frac{(1+\sqrt{3}i)(-1+\sqrt{3}i)}{4}=-1. \end{aligned}$$ よって、$x_1^3=-1$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} x_1^4&=-x_1=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},&x_1^5&=-x_1^2=\frac{1-\sqrt{3}i}{2},&x_1^6&=1. \end{aligned}$$

(3) 各解 $x_i$ について $z=x_i^2$ とおくと、もとの方程式から $$\begin{aligned} z^2+z+1&=0,\qquad (z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=0. \end{aligned}$$ したがって $z^3=1$ である。また $z=1$ なら $z^2+z+1=3$ となり矛盾するので、$z\ne1$ である。自然数 $n$ を $n=3q+r$（$r=0,1,2$）と表すと、 $$\begin{aligned} x_i^{4n}+x_i^{2n}+1&=z^{2n}+z^n+1. \end{aligned}$$ $r=0$ のときは $z^n=1$ だから値は $3$ である。$r=1$ のときは $z^n=z$ なので値は $z^2+z+1=0$ である。$r=2$ のときは $z^n=z^2$、また $z^{2n}=z^4=z$ だから値は $z+z^2+1=0$ である。以上より、$i=1,2,3,4$ のいずれについても、$3\mid n$ なら値は $3$、$3\nmid n$ なら値は $0$ となる。