1大分大学 2015年 数学 第1問解答・解説

実数の $y$ が存在するには $x^6(1-x^2)\geq 0$ であるから、$-1\leq x\leq 1$ である。この範囲で曲線の上下の枝は $y=\pm |x|^3\sqrt{1-x^2}$ と表される。曲線は $x=-1,0,1$ で $x$ 軸と交わり、原点で左右の部分が接するので、囲まれる部分は左右対称な二つである。右側の部分の面積を $S$ とすると、$$\displaystyle S=2\int_0^1 x^3\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ ここで $u=1-x^2$ とおくと、$\displaystyle x^3\,dx=-\frac12(1-u)\,du$ なので、$$\displaystyle \int_0^1x^3\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\int_0^1(1-u)u^{1/2}\,du=\frac12\left(\frac23-\frac25\right)=\frac{2}{15}.$$ したがって $\displaystyle S=\frac{4}{15}$ であり、左右二つの部分の面積の和は $\displaystyle 2S=\boxed{\frac{8}{15}}$ である。

xの取りうる範囲を求め、曲線の上側と下側の部分を式で表す。原点の左右の部分は対称である。 Integrate the vertical gap on the right and double it for that lobe, then double once more for the total.