2福井大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(2) $a=\sqrt2$ としてパラメータで微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\sqrt2\sin\theta+2\sin2\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=\sqrt2\cos\theta+2\cos2\theta.$$ $\theta=\pi/4$ では $dx/d\theta=1$, $dy/d\theta=1$ である。$dx/d\theta\ne0$ なので接線の傾きは $$\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\pi/4} =\left.\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\right|_{\theta=\pi/4}=1.$$ 点 $P(1,2)$ を通るから $$\boxed{\ell:\ y-2=x-1,\quad y=x+1}.$$

(3) $x=1$ との交点は $$\sqrt2\cos\theta-\cos2\theta=1.$$ 二倍角公式を用いて移項すると、この方程式と同値な式 $$\cos\theta(\sqrt2-2\cos\theta)=0$$ を得る。指定された範囲では $\cos\theta>0$ なので $\cos\theta=\sqrt2/2$、すなわち $\theta=\pi/4$ であり、交点は $P$。また $$y=\sqrt2\sin\theta+\sin2\theta =\sin\theta(\sqrt2+2\cos\theta)$$ で、括弧内は正だから、曲線と $x$ 軸の交点は $\theta=0$ の $(\sqrt2-1,0)$ のみである。 $0<\theta\leq\pi/4$ では $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sin\theta(4\cos\theta-\sqrt2)>0,$$ また $y>0$。したがって囲まれた面積はこの曲線部分の下の面積であり、$dx=(dx/d\theta)d\theta$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/4}(\sqrt2\sin\theta+\sin2\theta) (-\sqrt2\sin\theta+2\sin2\theta)\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\left(-2\sin^2\theta+\sqrt2\sin\theta\sin2\theta+2\sin^22\theta\right)d\theta\\ &=\left(-\frac\pi4+\frac12\right)+\frac13+\frac\pi4 =\boxed{\frac56}. \end{aligned}$$ ここで交差項は $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ と置換 $u=\sin\theta$ により $\displaystyle \sqrt2\int_0^{\pi/4}\sin\theta\sin2\theta\,d\theta=1/3$、最後の項は $2\sin^22\theta=1-\cos4\theta$ により $\pi/4$ となる。 分類ラベル 計算：座標条件からの三角方程式、媒介変数微分、面積積分。 定理：二倍角公式、合成関数の微分、媒介変数表示曲線の接線公式、定積分による面積。 論証：角度の範囲、曲線の交点、単調性および符号を確認。 単元：数学II「三角関数」、数学III「微分法・積分法」、数学C「媒介変数表示」。 方法：点の座標条件でパラメータを決め、接線公式と媒介変数による面積積分を使う。 テーマ：媒介変数曲線、接線、曲線と直線で囲まれる面積。