3大分大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$ とし、$f(x)=x-1-\log x$ とおく。 $$\displaystyle f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$ したがって $0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。$f(1)=0$ だから $f(x)\ge0$、すなわち $\log x\le x-1$。等号は $x=1$ のとき。

(2) $p_i,q_i>0$ より $q_i/p_i>0$ である。(1)を適用し、正の $p_i$ を掛けて総和を取ると $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^n p_i\log\frac{q_i}{p_i} \le \sum\limits _{i=1}^n(q_i-p_i)=1-1=0.$$ よって $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^n p_i\log p_i\ge\sum\limits _{i=1}^n p_i\log q_i$。等号はすべての $i$ について $p_i=q_i$ のとき。

(3) $q_i=1/n$ と置くと条件を満たすので、(2)から $$\displaystyle F=\sum\limits _{i=1}^n p_i\log p_i\ge\sum\limits _{i=1}^n p_i\log\frac1n=-\log n.$$ $p_i=1/n$ のとき等号となり、最小値は $-\log n$。

(4) $h(x)=x\log x\ (x>0)$ とおくと $h'(x)=\log x+1$。したがって $h$ は $x=1/e$ で最小値 $-1/e$ をとる。よって $$\displaystyle G=\sum\limits _{i=1}^n a_i\log a_i\ge-\frac ne,$$ 等号はすべての $a_i=1/e$ のとき成立する。

最初に微分で対数不等式を証明し、正規化された$p_i$と$q_i$へ適用する。等号条件を保って一様分布で$F$の下限を達成する。$G$には総和制約がないため、各関数$a\log a$の最小点を同時に選べる。