3名古屋大学 2015年 数学 第3問解答・解説

交点条件は $e^x=tx$ であり、$x>0$ だから $f(x)=e^x/x$ とおくと $$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$ $f$ は $x=1$ で最小値 $e$ をとる。よって $t>e$ では $0<\alpha<1<\beta$ である。また交点条件から $e^\alpha=t\alpha,\ e^\beta=t\beta$。

$P,Q$ における接線をそれぞれ $L_\alpha,L_\beta$ とすると $$L_\alpha(x)=e^\alpha(x-\alpha+1)=t\alpha(x-\alpha+1),\qquad L_\beta(x)=e^\beta(x-\beta+1)=t\beta(x-\beta+1).$$ 両式の交点 $R$ の $x$ 座標は $$\alpha(x_R-\alpha+1)=\beta(x_R-\beta+1) \quad\text{より}\quad x_R=\alpha+\beta-1.$$ したがって $x_R-\alpha=\beta-1>0$ かつ $\beta-x_R=1-\alpha>0$ なので $\alpha<x_R<\beta$。$y=e^x$ は下に凸で、接点以外では各接線より上にあり、$\alpha\le x\le x_R$ では $L_\alpha$、$x_R\le x\le\beta$ では $L_\beta$ が領域の下端となる。

よって $$\displaystyle S_1=\int_\alpha^\beta e^x\,dx=e^\beta-e^\alpha=t(\beta-\alpha),$$ $$\displaystyle \begin{aligned} S_2={}&\int_\alpha^{x_R}\!\left(e^x-L_\alpha(x)\right)dx +\int_{x_R}^{\beta}\!\left(e^x-L_\beta(x)\right)dx\\ ={}&e^\alpha\left(e^{\beta-1}-1-(\beta-1)-\frac{(\beta-1)^2}{2}\right) +e^\beta\left(1-e^{\alpha-1}-(1-\alpha)+\frac{(1-\alpha)^2}{2}\right). \end{aligned}$$ $e^\alpha=t\alpha,\ e^\beta=t\beta$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{S_2}{t} &=\beta e^{\alpha-1}-\alpha\beta-\frac{\alpha(\beta-1)^2}{2} +\alpha\beta-\beta e^{\alpha-1}+\frac{\beta(1-\alpha)^2}{2}\\ &=\frac{\beta(1-\alpha)^2-\alpha(\beta-1)^2}{2} =\frac{(\beta-\alpha)(1-\alpha\beta)}{2}. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{1-\alpha\beta}{2}$。

まず $e/t=\alpha e^{1-\alpha}>\alpha$（$\alpha<1$）より $\alpha<e/t$。 次に $g(x)=x-2\log x$ とおくと、$x>1$ で $g$ は $x=2$ において最小となり、$g(2)=2-2\log 2>0$。ゆえに $\beta>1$ に対して $\beta>2\log\beta$ である。一方 $e^\beta=t\beta$ より $\log t=\beta-\log\beta$ だから $\log t>\beta/2$、従って $\beta<2\log t$。 最後に $$\displaystyle 0<\alpha\beta<\frac{e}{t}\,2\log t=\frac{2e\log t}{t}\longrightarrow0\quad(t\to\infty),$$ したがって $\displaystyle\lim\limits _{t\to\infty}\frac{S_2}{S_1}=\frac12$。