4金沢大学 2010年 数学 第4問解答・解説

以下、$\log x$ は自然対数とする。

(1) $t=\log x$ と置くと $f(x)=2at-t^2=a^2-(t-a)^2$。$f(x)=0$ は $t(2a-t)=0$ より $t=0,2a$。したがって $x_1=1,\ x_2=e^{2a}$（$a>0$ より順序もこの通り）。平方完成した式より最大値は $a^2$、そのとき $t=a$、すなわち $x=e^a$。

(2) $\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(a-\log x)}x$。よって $P_1=(1,0)$ における接線は $\ell_1:y=2a(x-1)$、$P_2=(e^{2a},0)$ における接線は $\ell_2:y=-2ae^{-2a}(x-e^{2a})=-2ae^{-2a}x+2a$。両式を等置し $2a>0$ で割ると $x-1=-e^{-2a}x+1$、ゆえに $\displaystyle X(a)=\dfrac{2}{1+e^{-2a}}$。従って $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}X(a)=2$。

(3) $a=1$ のとき、$1\le x\le e^2$ でグラフは $x$ 軸以上にある。$u=\log x$（$dx=e^u\,du$）と置換すると、面積は $\displaystyle \int_1^{e^2}(2\log x-(\log x)^2)\,dx=\int_0^2(2u-u^2)e^u\,du$。原始関数は $e^u(-u^2+4u-4)$ なので、面積は $[e^u(-u^2+4u-4)]_0^2=0-(-4)=4$。