1金沢大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $a^2+b^2=1$ より，接線の方程式は $ax+by=1$。点 $R(4,0)$ からこの直線までの距離は $$\displaystyle \frac{|4a-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=|4a-1|=2.$$ 従って $a=3/4$ または $a=-1/4$。$b>0$ なので $$\displaystyle P=\left(\frac34,\frac{\sqrt7}4\right),\qquad P=\left(-\frac14,\frac{\sqrt{15}}4\right).$$ いずれも $0<b<1$ を満たし，距離の条件にも戻して確かめられる。

(2) $a\ne0$ より $Q=(1/a,0)$。底辺 $QR$ は $x$ 軸上にあり，高さは $b$ だから $$\displaystyle [PQR]=\frac12\left|4-\frac1a\right|b.$$ $P=(3/4,\sqrt7/4)$ のとき $Q=(4/3,0)$ なので面積は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac83\cdot\frac{\sqrt7}4=\boxed{\frac{\sqrt7}{3}}.$$ $P=(-1/4,\sqrt{15}/4)$ のとき $Q=(-4,0)$ なので面積は $$\displaystyle \frac12\cdot8\cdot\frac{\sqrt{15}}4=\boxed{\sqrt{15}}.$$