1大阪大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $C_2$ を $2ax-y-3a=0$ と書く。点 $P=(x,y)$ を固定すると、点 $Q$ がこの直線上を動くとき、$PQ$ の長さの最小値は $P$ から直線 $C_2$ までの距離である。したがって $$\displaystyle \text{点 }Q\text{ が直線 }C_2\text{ 上を動くときの }|PQ|\text{ の最小値}=\frac{|2ax-y-3a|}{\sqrt{4a^2+1}}.$$ $C_1$ 上の点 $P$ に対し $u=x,\ v=y/a$ とおく。$a>0$ なので $u^2+v^2=1$ であり、 $$5(u^2+v^2)-(2u-v)^2=(u+2v)^2\geq0.$$ よって $(2u-v)^2\leq5$、特に $2u-v\leq\sqrt5$ である。この上限は $$\displaystyle u=\frac2{\sqrt5},\qquad v=-\frac1{\sqrt5}$$ で実際に達成される。さらに $\sqrt5<3$ より、$C_1$ 上のすべての点 $P$ について $$2ax-y-3a=a(2u-v-3)<0.$$ したがって距離は $2u-v$ が最大の点で最小になり、 $$\displaystyle \boxed{f(a)=\frac{a(3-\sqrt5)}{\sqrt{4a^2+1}}}.$$

(2) $a>0$ なので分子と分母を $a$ で割ると $$\displaystyle f(a)=\frac{3-\sqrt5}{\sqrt{4+1/a^2}}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{a\to\infty}f(a)=\frac{3-\sqrt5}{2}}.$$