大阪大学 2012年数学第3問解答・解説

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1問題

大阪大学2012年度第3問

$xyz$ 空間に3点 $O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,\sqrt{3},1)$ がある。平面 $z=0$ に含まれ、中心が $O$ 、半径が1の円を $W$ とする。点 $P$ が線分 $OA$ 上を、点 $Q$ が円 $W$ の周および内部を動くとき、 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ をみたす点 $R$ 全体がつくる立体を $V_{A}$ とおく。同様に点 $P$ が線分 $OB$ 上を、点 $Q$ が円 $W$ の周および内部を動くとき、 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ をみたす点 $R$ 全体がつくる立体を $V_{B}$ とおく。さらに、 $V_{A}$ と $V_{B}$ の重なり合う部分を $V$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 平面 $\displaystyle z=\cos\theta\ \left(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)$ による立体 $V$ の切り口の面積を $\theta$ を用いて表せ。

(2) 立体 $V$ の体積を求めよ。

（配点率 $20\%$ ）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 切り口の面積は $\quad 2\theta-\sin 2\theta\quad$ 。 (2) 立体 $\quad V\quad$ の体積は $\displaystyle \quad \frac{4}{3}\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $0\le z\le1$ を満たす高さ $z$ における $V_A$ の断面は、中心 $(z,0)$ 、半径1の円盤である。実際、 $P=(z,0,z)$ と円盤上の $Q=(u,v,0)$ の和は $R=(z+u,v,z)$ となる。同様に $V_B$ の断面は中心 $(0,\sqrt3z)$ 、半径1の円盤で、中心間距離は $2z$ 。 $z=\cos\theta$ とおくと、共通弦が各中心に張る角は $2\theta$ 。重なりの面積は、扇形から二等辺三角形を引いた円弧部分2個分なので $\displaystyle \boxed{S(\cos\theta)=2\left(\theta-\frac12\sin2\theta\right)=2\theta-\sin2\theta}.$ 端点 $\theta=0,\pi/2$ でもそれぞれ0、 $\pi$ となり正しい。 (2) 断面積を積分し、 $z=\cos\theta$ と置換する。 $\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_0^1 S(z)\,dz=\int_0^{\pi/2}(2\theta-\sin2\theta)\sin\theta\,d\theta\\ &=2\left[-\theta\cos\theta+\sin\theta\right]_0^{\pi/2} -2\left[\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2} =\boxed{\frac43}. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

水平断面
扇形から三角形を引く
三角置換・部分積分

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