4大阪大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ とおく。$f(0),\ldots,f(4)$ が公差 $l$、初項 $m$ の等差数列なら、$g(x)=f(x)-P(x)-lx-m$ は4次以下で、$g(j)=0\ (j=0,1,2,3,4)$。5つの異なる根をもつ4次以下の多項式は零多項式だから $g\equiv0$。従って $$f(x)=P(x)+lx+m.$$ 逆にこの形なら $P(0)=\cdots=P(4)=0$ なので $f(j)=lj+m$ は等差数列である。さらに $m=f(0)$、$l=f(1)-f(0)$ と定まるため表し方は一意。

(2) $a_j=f(\alpha+j)$ とおく。$k$ 項が等差数列であるための必要十分条件は、すべての $j=0,1,\ldots,k-3$ で $$a_{j+2}-2a_{j+1}+a_j=0$$ となることである。因数分解または展開して $$P(x+1)-P(x)=5x(x-1)(x-2)(x-3),\quad P(x+2)-2P(x+1)+P(x)=20x(x-1)(x-2).$$ 一次式 $lx+m$ の二階差分は0だから $$a_{j+2}-2a_{j+1}+a_j=20(\alpha+j)(\alpha+j-1)(\alpha+j-2).$$ 従って各 $j=0,1,\ldots,k-3$ について $\alpha+j$ が $0,1,2$ のいずれかであることが必要十分である。$k=3$ では $\alpha=0,1,2$、$k=4$ では $\alpha,\alpha+1$ がともに $0,1,2$ のいずれかとなることより $\alpha=0,1$、$k=5$ では $\alpha,\alpha+1,\alpha+2$ がすべて $0,1,2$ のいずれかとなることより $\alpha=0$。$k\ge6$ なら4つの異なる数 $\alpha,\alpha+1,\alpha+2,\alpha+3$ が3要素の集合 $\{0,1,2\}$ に含まれねばならず不可能。以上が全解である。