5大阪大学 2012年 数学 第5問解答・解説

・ 分子を $P(x)=lx^{2}+mx+n$ とおく。$x=-1$ のとき分母は $0$ である。もし $P(-1)\ne0$ なら分子は0以外の値に近づく一方、分母は0に近づくので有限な極限は存在しない。したがって有限な極限が存在する条件は $P(-1)=l-m+n=0$ である。この条件が成り立てば $n=m-l$ なので、$$P(x)=lx^{2}+mx+m-l=(x+1)(lx+m-l)$$ と因数分解でき、極限は存在する。したがって、求める条件は $l+n=m$ である。　 さいころの出方は $6^{3}=216$ 通りである。$l+n=s$ とすると、$s=2,3,4,5,6$ のとき $(l,n)$ の組はそれぞれ $s-1$ 通りであり、各組に対して $m=s$ がただ1通り定まる。よって条件を満たす出方は $$1+2+3+4+5=15$$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{15}{216}=\frac{5}{72}$$ である。

・ $t=x+1$ とおくと、定義域 $x>-1$ は $t>0$ となる。また $A=l-m+n$ とおけば、式の割り算により、$$\displaystyle g(t)=f(t-1)=lt+(m-2l)+\frac{A}{t}\qquad (t>0)$$ である。　 $A>0$ のとき、$$\displaystyle lt+\frac{A}{t}-2\sqrt{lA}=\left(\sqrt{lt}-\sqrt{\frac{A}{t}}\right)^{2}\geq 0$$ であり、等号は $t=\sqrt{A/l}>0$ のときに成り立つ。したがって $g$ は定義域内で最小値をとり、$f$ も $x>-1$ の範囲で極値をとる。　 一方、$A\leq 0$ のとき、$0<t_{1}<t_{2}$ に対して $$\displaystyle g(t_{2})-g(t_{1})=l(t_{2}-t_{1})+A\left(\frac{1}{t_{2}}-\frac{1}{t_{1}}\right)>0$$ である。実際、$l>0$、$t_{2}-t_{1}>0$ であり、$1/t_{2}-1/t_{1}<0$ かつ $A\leq0$ なので第2項は $0$ 以上である。よって $g$、したがって $f$ は定義域全体で単調増加し、極値をとらない。以上より、極値をとる条件は $A>0$、すなわち $l+n>m$ である。　 $s=l+n$ とする。$s=2,3,\ldots,12$ に対して $(l,n)$ の組数は順に $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ 通りであり、各組に対して $m<s$ を満たす目の数は順に $1,2,3,4,5,6,6,6,6,6,6$ 通りである。したがって条件を満たす出方は $$1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4+5\cdot5+6\cdot6+5\cdot6+4\cdot6+3\cdot6+2\cdot6+1\cdot6=181$$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{181}{216}$$ である。