2大阪大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$n\ge 2$ とする。条件 (i) より $n$ は合成数である。$n$ の最小の素因数を $p$ とする。$p$ は $1,n$ 以外の約数であり、$1$ より大きい $n$ の約数はすべて $p$ 以上だから、条件 (ii) の対象となる約数の最小値は $p$ である。

$1,n$ 以外の約数 $d$ に対し、$n/d$ は $1$ より大きい $n$ の約数なので $n/d\ge p$、すなわち $d\le n/p$ である。また $n/p$ 自身も $1,n$ 以外の約数である。したがって対象となる約数の最大値は $n/p$ であり、条件 (ii) は $$\displaystyle \frac{n}{p}-p\le 2$$ と同値である。$k=n/p$ とおくと $k$ は整数で $k\ge p$ だから、$k-p=0,1,2$ のいずれかである。

・ $k=p$ のとき $n=p^2$。

・ $k=p+1$ のとき、$p=2$ なら $n=6$。$p\ge3$ なら $p$ は奇数なので $p+1$ は偶数であり、$2\mid n$ となる。これは $p$ が最小の素因数であることに反する。

・ $k=p+2$ のとき、$p=2$ なら $n=8$。$p\ge3$ なら $p+2<p^2$ である。もし $p+2$ が合成数なら、ある素数 $r$ が $p+2$ を割り、$r\le\sqrt{p+2}<p$ となる。すると $r\mid n$ なので、$p$ が最小の素因数であることに反する。よって $p+2$ は素数である。

逆に、$n=p^2$ なら対象となる約数は $p$ だけである。$n=6$ の対象約数は $2,3$、$n=8$ の対象約数は $2,4$ である。また、$p\ge3$ で $p,p+2$ がともに素数なら、$n=p(p+2)$ の対象約数は $p,p+2$ だけである。いずれの場合も対象となる約数の最大値と最小値の差は $2$ 以下だから、条件 (ii) を満たす。したがって条件を満たす $n\ge2$ は $$n=p^2\quad(p\text{ は素数}),\qquad n=6,\qquad n=8,\qquad n=p(p+2)\quad(p\ge3,\ p,p+2\text{ は素数})$$ である。

(1) $p^2$ が偶数となるのは $p=2$ のときだけで、$n=4$。$p\ge3$ のとき $p(p+2)$ は奇数であり、$6,8$ は偶数である。よって $n=4,6,8$。

(2) $p^2$ が $7$ の倍数なら $p=7$ で $n=49$。また $7\mid p(p+2)$ なら $p=7$ または $p+2=7$ である。前者は $p+2=9$ が素数でないため不適、後者は $p=5$ で $n=35$。$6,8$ は $7$ の倍数でない。よって $n=35,49$。

(3) $p^2\le1000$ より $p\le31$。この範囲の素数 $p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$ の平方は $$4,9,25,49,121,169,289,361,529,841,961.$$

さらに $p(p+2)\le1000$ より $p\le30$ である。$p\ge3$ の素数候補 $3,5,7,11,13,17,19,23,29$ のうち、$p+2$ も素数なのは $p=3,5,11,17,29$ であり、積は $15,35,143,323,899$。これらに $6,8$ を加えて小さい順に並べると $$4,6,8,9,15,25,35,49,121,143,169,289,323,361,529,841,899,961.$$