2山形大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) $n=1$ では $\displaystyle a_1=-\frac14$ だから成立する。ある $n\ge1$ で $\displaystyle -\frac14\leq a_n<0$ と仮定すると、 $$\displaystyle 0<a_n^2\leq\frac1{16}$$ より $$\displaystyle -\frac14<a_{n+1}=a_n^2-\frac14\leq-\frac3{16}<0.$$ 従って数学的帰納法により、全ての $n\ge1$ で $\displaystyle -\frac14\leq a_n<0$ である。

(2),(3) $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。初項は $$\displaystyle d_1=a_2-a_1=\left(-\frac3{16}\right)-\left(-\frac14\right)=\frac1{16}>0.$$ 漸化式を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} d_{n+1}&=a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}^2-\frac14-a_{n+1}\\ &=a_{n+1}^2-a_n^2=(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=d_n(a_{n+1}+a_n). \end{aligned}$$ (1)から $\displaystyle -\frac12\leq a_n+a_{n+1}<0$ なので、因子 $a_n+a_{n+1}$ は負である。従って $d_n$ の符号は毎回反転する。$d_1>0$ より、奇数番目の $d_{2n-1}$ は正、偶数番目の $d_{2n}$ は負である。

さらに $$\begin{aligned} a_{m+2}-a_m&=d_m+d_{m+1}\\ &=d_m\{1+a_m+a_{m+1}\}. \end{aligned}$$ (1)から $\displaystyle 1+a_m+a_{m+1}\geq\frac12>0$ である。したがって、$m$ が奇数なら $a_{m+2}-a_m>0$、$m$ が偶数なら $a_{m+2}-a_m<0$。$m=2n-1$ と $m=2n$ を代入して、それぞれ $$a_{2n-1}<a_{2n+1},\qquad a_{2n}>a_{2n+2}$$ を得る。

(4) $d_{2n-1}=a_{2n}-a_{2n-1}>0$ である。また(1)より $\displaystyle |a_j+a_{j+1}|\leq\frac12$ なので、差の漸化式から $$\displaystyle |d_{j+1}|=|d_j|\,|a_j+a_{j+1}|\leq\frac12|d_j|.$$ これを $2n-2$ 回用いると $$\displaystyle \begin{aligned} 0<a_{2n}-a_{2n-1}=d_{2n-1} &\leq d_1\left(\frac12\right)^{2n-2}\\ &=\frac1{16}\left(\frac12\right)^{2n-2} =\left(\frac12\right)^{2(n+1)}. \end{aligned}$$ よって(4)も成り立つ。