4山形大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) 逆行列の候補として $$\displaystyle P=\begin{pmatrix}\dfrac{1-3\sqrt3}{2}&\sqrt3\\-\dfrac{5\sqrt3}{2}&\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$$ を置く。各成分を掛け合わせると $$AP=PA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad BQ=QB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$ したがって逆行列の定義により $A^{-1}=P$、$B^{-1}=Q$ である。例えば $AP$ の対角成分は $\displaystyle \frac{1-27}{4}+\frac{15}{2}=1$、非対角成分は同じ項の差となって $0$ である。$PA$ および $B,Q$ の積も同様に成分計算で上の単位行列になる。

(2) まず $$\displaystyle A^{-1}B= \begin{pmatrix} \dfrac{1+\sqrt3}{2}&\dfrac{1-\sqrt3}{2}\\[2pt] \dfrac{2+\sqrt3}{2}&\dfrac{1-2\sqrt3}{2} \end{pmatrix}.$$ これに $B^{-1}$ を左から掛け、各成分を計算すると $$\displaystyle C:=B^{-1}A^{-1}B =\begin{pmatrix}\dfrac12&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\end{pmatrix}.$$ さらに同じ成分積を繰り返して $$\displaystyle C^2=\begin{pmatrix}-\dfrac12&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac12\end{pmatrix},\qquad C^3=C^2C=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E.$$

(3) $A$ と $B$ は逆行列をもつので、$A^7B$ も逆行列をもち、与式の解は一意である。両辺に左から $B^{-1}A^{-7}$ を掛けると $$X=B^{-1}A^{-7}B=(B^{-1}A^{-1}B)^7=C^7.$$ ここで積を繰り返し、途中の $B B^{-1}=E$ を消去すると相似な行列の積が順にまとまり、上式を得る。$C^3=-E$ だから $C^6=E$、よって $C^7=C$ である。したがって $$\displaystyle X=\begin{pmatrix}\dfrac12&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\end{pmatrix}.$$

(4) (2)の成分計算から $X^2=X-E$ が分かる。これを順に掛けると $$X^3=-E,\qquad X^4=-X,\qquad X^5=-X^2,\qquad X^6=E.$$ よって指定された指数を6で割った余りに直せば $$\begin{aligned} E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25} &=E-X^2-X-E+X^2+X\\ &=O. \end{aligned}$$