1広島大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $P'=(a+b,c+d)$、$Q'=2P'$ である。両点の各座標が1以上2以下なので、$1\le a+b\le2$ と $1\le2(a+b)\le2$ より $a+b=1$。同様に $c+d=1$ である。

(2) (1)より $b=1-a,\ d=1-c$ である。面積は $p=|ad-bc|=a-c>0$ であり、行列の積を計算すると問題文の等式を得る。

(3) $u=(1,1)^T$、$v=(b,-c)^T$ とおく。$\det[u\ v]=-(b+c)\ne0$ なので、これらは平行でない。直接計算すると $Au=u,\ Av=pv$ であり、繰り返し掛けると $A^n[u\ v]=[u\ p^n v]$ を得る。

(4) $\displaystyle B=A^3=\frac1{27}\begin{pmatrix}14&13\\13&14\end{pmatrix}$ とおく。$Bv=p^3v$ の成分を比較すると $(14-27p^3)b=13c$、$(14-27p^3)c=13b$ である。$\lambda=14-27p^3$ とおくと、$b,c>0$ より $\lambda>0$。2式を掛けると $\lambda^2bc=169bc$ だから $\lambda=13$ であり、$b=c$、$p^3=1/27$ を得る。したがって $p=1/3$。$b=1-a,\ p=a-c,\ d=1-c$ より $a=d=2/3$、$b=c=1/3$ である。以上は行列の積と二つの成分の等式を用いた計算である。