1金沢大学 2001年 数学 第1問解答・解説

問題の確認 原本PDF p. 1とOCRを確認した。問題は $$A=\begin{pmatrix}1&-5\\1&-1\end{pmatrix},\qquad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ について、(1) $A^2,A^4$、(2) $A^3+2A^2+4A+8E$、(3) $\displaystyle E+\frac12A+\left(\frac12A\right)^2+\cdots+\left(\frac12A\right)^{2001}$ を求めるものである。

(1) $A^2,A^4$ 行列の積を計算すると $$A^2= \begin{pmatrix}1&-5\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-5\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-5 & -5+5\\ 1-1 & -5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4&0\\0&-4\end{pmatrix} =-4E.$$ したがって $$A^4=(A^2)^2=(-4E)^2=16E =\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}.$$

(2) $A^3+2A^2+4A+8E$ $A^2=-4E$ より $A^3=AA^2=-4A$ なので、 $$A^3+2A^2+4A+8E =-4A-8E+4A+8E =O =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

(3) 有限和 $$\displaystyle B=\frac12A$$ とおくと、(1)より $$\displaystyle B^2=\frac14A^2=-E,\qquad B^3=-B,\qquad B^4=E.$$ 従って4項ごとに $$B^{4q}+B^{4q+1}+B^{4q+2}+B^{4q+3} =B^{4q}(E+B+B^2+B^3) =E+B-E-B=O.$$ $k=0,\ldots,1999$ は500組に分けられ、和は $O$。残る2項は $B^{2000}+B^{2001}=E+B$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} E+\frac12A+\left(\frac12A\right)^2+\cdots+\left(\frac12A\right)^{2001} &=\sum\limits _{k=0}^{2001}B^k\\ &=E+B\\ &=E+\frac12A\\ &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} +\frac12\begin{pmatrix}1&-5\\1&-1\end{pmatrix}\\ &=\boxed{\begin{pmatrix}\frac32&-\frac52\\[2pt]\frac12&\frac12\end{pmatrix}}. \end{aligned}$$

単元・方法・テーマ 単元：高校数学「行列」。 方法：行列積の計算、$A^2=-4E$ を使った累乗の簡約、$B=(1/2)A$ の4周期を用いた有限和の組分け。 定理・性質：行列積の結合法則・分配法則、単位行列の性質。 テーマ：高次の行列累乗、行列多項式、行列べきの周期性。