4筑波大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) $a_3=2a_2+ca_1=4+2c$、$a_4=2a_3+ca_2=8+6c$ である。一方、2本目の条件を $n=2$ に適用すると $a_4=4c+14$。よって $8+6c=4c+14$ から $\boxed{c=3}$。

(2) $a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1}$ より $$\begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{n-1}\\a_n\end{pmatrix},\qquad \boxed{A=\begin{pmatrix}0&1\\3&2\end{pmatrix}}.$$

(3) $$A\begin{pmatrix}1\\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b\\3+2b\end{pmatrix}.$$ これが $b\begin{pmatrix}1\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\b^2\end{pmatrix}$ に等しい条件は $b^2-2b-3=0$。従って $\boxed{b=3,-1}$。

(4) $s_n=a_{n+1}+a_n$ とおくと、漸化式から $$s_n=3(a_n+a_{n-1})=3s_{n-1},\qquad s_1=4,$$ ゆえに $a_{n+1}+a_n=4\cdot3^{n-1}$。この関係は $a_1=2$ と合わせて各項を一意に決める。そこで $$a_n=3^{n-1}-(-1)^n$$ を確認する。$n=1$ で $a_1=2$。さらにこの式が $a_n$ で成り立つとき $$a_{n+1}=4\cdot3^{n-1}-a_n=3^n+(-1)^n=3^n-(-1)^{n+1}.$$ よって数学的帰納法により $$\boxed{a_n=3^{n-1}-(-1)^n\quad(n\ge1)}.$$

まず $n=2$ で二つの漸化式を比較して $c$ を決める。その値で行列表示とベクトル条件を直接計算する。最後は $s_n=a_{n+1}+a_n$ が等比数列になることから一般項を確認し、初項と漸化関係による一意性で確定する。