3筑波大学 2001年 数学 第3問解答・解説

水面の高さを $h$、高さ $h$ の断面の半径を $x$ とする。容器の母線は $h=x(1-x)$（$0\leq x\leq1/2$）なので、これを $x$ について解き、条件を満たす枝を選ぶと $$\displaystyle x(h)=\frac{1-\sqrt{1-4h}}{2},\qquad 0\leq h\leq\frac14.$$

**(1)** 高さ $h$ までの水量を $W(h)$ とすれば水平断面積より $dW/dh=\pi x(h)^2$。注水率は $dW/dt=V$ で、水面上昇速度は $u=dh/dt$ だから、連鎖律より $V=\pi x(h)^2u$。よって $$\displaystyle u(h)=\frac{V}{\pi x(h)^2}=\frac{4V}{\pi(1-\sqrt{1-4h})^2}\qquad(0<h\leq1/4).$$ 特に $h\to0+$ では速度は無限大に発散する。

**(2)** 容器全体の水量は水平断面を積み重ねて $$\displaystyle \begin{aligned} W_{\max}&=\pi\int_0^{1/4}x(h)^2\,dh =\pi\int_0^{1/2}x^2(1-2x)\,dx\\ &=\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}\right]_0^{1/2} =\frac{\pi}{96}, \end{aligned}$$ となる。ここでは $h=x(1-x)$ から $dh=(1-2x)dx$ と置換した。一定の注水率が $V$ なので、満水までの時間は $$\displaystyle T=\frac{W_{\max}}{V}=\frac{\pi}{96V}.$$