5群馬大学 2001年 数学 第5問解答・解説

$P=(x,(x+1)^2)$ とおく。$A(-3,4)$ と $P$ を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{(x+1)^2-4}{x+3}=x-1.$$ 横座標を $\xi$ とすると、弦の高さから放物線の高さを引いた差は $$4+(x-1)(\xi+3)-(\xi+1)^2=(\xi+3)(x-\xi).$$ $x\ge0$ では $-3\le\xi\le x$ の範囲でこの差は非負である。

(1) 囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_{-3}^{x}(\xi+3)(x-\xi)\,d\xi=\frac{(x+3)^3}{6}.$$

(2) $dS/dt=1$ と連鎖律より $$\displaystyle 1=\frac{(x+3)^2}{2}\frac{dx}{dt},\qquad \boxed{\frac{dx}{dt}=\frac{2}{(x+3)^2}}.$$

(3) $y=(x+1)^2$ なので $dy/dt=2(x+1)dx/dt$。また $dx/dt>0$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} v&=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\\ &=\boxed{\frac{2\sqrt{1+4(x+1)^2}}{(x+3)^2}}. \end{aligned}$$

(4) $u=x+1\ge1$ とおく。$v>0$ なので $v$ と $v^2$ は同じ点で最大になる。 $$\displaystyle v^2=\frac{4(1+4u^2)}{(u+2)^4},\qquad \frac{d(v^2)}{du}=-\frac{16(2u^2-4u+1)}{(u+2)^5}.$$ 二次式の根は $u=1\pm1/\sqrt2$ であり、定義域 $u\ge1$ にある根は $1+1/\sqrt2$ のみ。導関数はその根の前で正、その後で負となる。したがって $$\displaystyle x=u-1=\frac1{\sqrt2},\qquad y=(x+1)^2=\frac32+\sqrt2,$$ ゆえに $\displaystyle \boxed{P\left(\frac1{\sqrt2},\frac32+\sqrt2\right)}$。

$P=(x,(x+1)^2)$, $x\geq0$。AからPへの弦と放物線の差は横座標ξについて $(\xi+3)(x-\xi)$。これを$-3$から$x$まで積分すると $\displaystyle S=\frac{(x+3)^3}{6}$。$\displaystyle \frac{dS}{dt}=1$から $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{2}{(x+3)^2}$。速度は接線方向の微分から $\displaystyle v=\frac{2\sqrt{1+4(x+1)^2}}{(x+3)^2}$。$u=x+1\geq1$ として $v^2$を微分すると符号変化は $\displaystyle u=1+\frac1{\sqrt2}$。よって $\displaystyle x=\frac1{\sqrt2}$, $\displaystyle y=\frac32+\sqrt2$。