3大分大学 2013年 数学 第3問解答・解説

曲線$y=x^2$上では$\dot y=2x\dot x$。速さが$C$、かつxが増加するので $$\displaystyle \dot x^2+(2x\dot x)^2=C^2,\qquad \dot x=\frac{C}{\sqrt{1+4x^2}}.$$ よって $$\displaystyle \vec v=\left(\frac{C}{\sqrt{1+4x^2}},\frac{2Cx}{\sqrt{1+4x^2}}\right).$$ 微分して $$\displaystyle \vec\alpha= \left(-\frac{4C^2x}{(1+4x^2)^2},\frac{2C^2}{(1+4x^2)^2}\right).$$ 原点Pでは$x=0$だから加速度の大きさは$2C^2$。 半径rの円を$x=r\cos\theta,\ y=r+r\sin\theta$と表すと、速さから$r^2\dot\theta^2=C^2$。微分し、$C,r>0$を使えば$\ddot\theta=0$。したがって円運動の加速度は $$(-r\cos\theta\,\dot\theta^2,-r\sin\theta\,\dot\theta^2)$$ で、大きさは$r\dot\theta^2=C^2/r$。これをPでの大きさ$2C^2$と等しくすると$r=1/2$。