1大分大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 第2式を $a$ 倍して第1式を引き、第1式を $b$ 倍して第2式を引くと $$(ab-1)y=a-1,\qquad (ab-1)x=b-1.$$ $ab\ne1$ なら $$\displaystyle \boxed{x=\frac{b-1}{ab-1},\quad y=\frac{a-1}{ab-1}}.$$ $ab=1$ なら、第1式の $b$ 倍は $x+by=b$。第2式と両立するには $b=1$、従って $a=1$ が必要。この場合は $x+y=1$ を満たすすべての組が解。それ以外の $ab=1$ の場合は解がない。

(2) $u(x)=x-\sin x$ とおく。$u(0)=0$、$u'(x)=1-\cos x\ge0$ より $u(x)\ge0$。次に $v(x)=\cos x-1+x^2/2$ とおくと $v(0)=0$、$v'(x)=u(x)\ge0$。従って $0\le x\le\pi/2$ で $$\boxed{\cos x\ge1-x^2/2}.$$

(3) $a^2+b^2>0$ では $$\displaystyle F(x)=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}$$ とおく。積の微分から $$\displaystyle \begin{aligned}F'(x)&=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{a(a\sin bx-b\cos bx)+ab\cos bx+b^2\sin bx\}\\&=e^{ax}\sin bx.\end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \boxed{\int e^{ax}\sin bx\,dx=F(x)+C}.$$ $a=b=0$ なら被積分関数が0なので不定積分は任意定数 $C$ である。

(1) 連立方程式の第2式を $a$ 倍して第1式を引くと $(ab-1)y=a-1$ を得る。また、第1式を $b$ 倍して第2式を引くと $(ab-1)x=b-1$ を得る。したがって $ab\ne1$ のとき、$\displaystyle x=\dfrac{b-1}{ab-1}, y=\dfrac{a-1}{ab-1}$ である。 $ab=1$ のときは、第1式を $b$ 倍すると $x+by=b$ となり、第2式 $x+by=1$ と両立するためには $b=1$ が必要である。このとき $ab=1$ より $a=1$ で、2式はともに $x+y=1$ となる。よって $a=b=1$ ならば $x+y=1$ を満たすすべての $x,y$ が解であり、$ab=1$ かつ $b\ne1$ ならば解はない。

(2) $u(x)=x-\sin x$ とおく。$u(0)=0$、また $\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ で $u'(x)=1-\cos x\ge0$ だから、$u(x)\ge0$、すなわち $x-\sin x\ge0$ である。次に $\displaystyle v(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと、$v(0)=0$ かつ $v'(x)=x-\sin x=u(x)\ge0$ である。したがって $v(x)\ge0$、すなわち $\displaystyle \cos x\ge1-\dfrac{x^2}{2}$ が示された。

(3) $a^2+b^2>0$ とし、$\displaystyle F(x)=\dfrac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}$ とおく。積の微分法より $\displaystyle F'(x)=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{a(a\sin bx-b\cos bx)+ab\cos bx+b^2\sin bx\}=e^{ax}\sin bx$ となる。よって $\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx=\dfrac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C$ である。$a=b=0$ のときは被積分関数が $0$ なので、積分は $C$ である。