2琉球大学 2016年 数学 第2問解答・解説

被積分関数は、$x<0$ では$1-e^x$、$x\ge 0$ では$e^x-1$ である。

(1) $-1\le a\le0$ のとき積分区間は$0$を含むので、$$\displaystyle \begin{aligned} I(a)&=\int_a^0(1-e^x)\,dx+\int_0^{a+1}(e^x-1)\,dx\\ &=\bigl[x-e^x\bigr]_a^0+\bigl[e^x-x\bigr]_0^{a+1}\\ &=(-1-a+e^a)+(e^{a+1}-a-2)\\ &=e^a+e^{a+1}-2a-3.\end{aligned}$$

(2) $a\le-1$ なら積分区間は$0$以下にあり、$a\ge0$ なら$0$以上にあるから、それぞれ$$\displaystyle \begin{aligned} a\le-1&:\quad I(a)=\int_a^{a+1}(1-e^x)\,dx=1-(e-1)e^a,\\ a\ge0&:\quad I(a)=\int_a^{a+1}(e^x-1)\,dx=(e-1)e^a-1.\end{aligned}$$ 前者は$a$が増加すると減少するので、この範囲での最小値は$a=-1$ のときの$1/e$ である。後者は$a$が増加すると増加するので、この範囲での最小値は$a=0$ のときの$e-2$ である。

中間の$-1\le a\le0$ では (1) より$$I'(a)=(e+1)e^a-2.$$ 指数関数$e^a$ は増加するため、導関数は一度だけ$0$となり、その前で負、その後で正となる。$I'(a)=0$ を解くと$$\displaystyle e^a=\frac{2}{e+1},\qquad a=\ln\frac{2}{e+1}.$$ ここで$e+1>2$ より$a<0$、また$2e>e+1$（$e>1$）より$e^a>e^{-1}$、したがって$a>-1$ であり、この値は区間の内点である。そこで$I(a)$ はこの値まで減少し、その後増加するので中間区間で最小となる。内点での最小値は両端での値より小さいため、全実数での最小値もこのときに実現する。したがって求める値は$$\displaystyle \boxed{a=\ln\frac{2}{e+1}}.$$（このとき$\displaystyle I(a)=2\ln\frac{e+1}{2}-1$ である。）