3琉球大学 2016年 数学 第3問解答・解説

問1 自然数 $n$ は正なので、積分区間では $x>0$ である。 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/n}^{2/n}\frac{1}{x}\,dx &=\left[\log x\right]_{1/n}^{2/n}\\ &=\log\frac{2}{n}-\log\frac{1}{n}=\log 2. \end{aligned}$$

問2 $x>0$ とし、$P(x)=x-\log(1+x)$、$\displaystyle Q(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ とおく。これらは $x\ge0$ で定義され、 $$\displaystyle P'(x)=\frac{x}{1+x}>0,\qquad Q'(x)=\frac{x^2}{1+x}>0\quad(x>0).$$ また $P(0)=Q(0)=0$ だから、$x>0$ では $P(x)>0,Q(x)>0$。従って $$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x)<x.$$

問3 問2から $$\displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}<x+\log(1+x)<2x.$$ 積分区間では $n\ge1$ より $0<x\le2$ で、左端も正である。逆数をとると $$\displaystyle \frac{1}{2x}<\frac{1}{x+\log(1+x)}<\frac{1}{2x-\frac{x^2}{2}} =\frac{1}{2x}\frac{1}{1-x/4}.$$ さらに $1/n\le x\le2/n$ より $$\displaystyle 1\le\frac{1}{1-x/4}\le\frac{1}{1-1/(2n)}.$$ これを積分して $$\displaystyle \frac12\log2<\int_{1/n}^{2/n}\frac{1}{x+\log(1+x)}\,dx <\frac{1}{1-1/(2n)}\cdot\frac12\log2.$$ 両端は $n\to\infty$ で $\displaystyle \frac12\log2$ に収束する。はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\int_{1/n}^{2/n}\frac{1}{x+\log(1+x)}\,dx=\frac12\log2.$$