4琉球大学 2016年 数学 第4問解答・解説

問1。3枚を戻さずに取り出すとき、最大値が3となるのは組 $\{1,2,3\}$ だけなので $$\displaystyle p_3=\frac1{\binom N3}.$$ 復元抽出では、3回の最大値が $k$ 以下である確率は $(k/N)^3$。よって $$\displaystyle q_1=\frac1{N^3},\qquad q_2=\frac{2^3-1^3}{N^3}=\frac7{N^3},\qquad q_3=\frac{3^3-2^3}{N^3}=\frac{19}{N^3}.$$ 問2。最大値が $n$ となる3枚の組合せ数は、1から $n$ までから選ぶ数と1から $n-1$ までから選ぶ数との差である。したがって $$\displaystyle p_n=\frac{\binom n3-\binom{n-1}3}{\binom N3} =\frac{\binom{n-1}2}{\binom N3}\quad(3\le n\le N).$$ $n=1,2$ では $p_n=0$。復元抽出では累積確率の差をとり $$\displaystyle q_n=\frac{n^3-(n-1)^3}{N^3}=\frac{3n^2-3n+1}{N^3}\quad(1\le n\le N).$$

問1: 3枚を戻さずに選ぶ場合、最大値3となる組は{1,2,3}だけなので、全組合せ数で割る。復元抽出では最大値がk以下となる確率が$(k/N)^3$であり、最大値がkである確率は隣り合う累積確率の差である。 問2: 非復元抽出で最大値がnとなる組合せ数は、1〜nから3枚選ぶ場合から1〜n−1だけで選ぶ場合を引いた数で、C(n−1,2)。復元抽出では同様に、全てn以下となる場合から全てn−1以下となる場合を引く。