1琉球大学 2016年 数学 第1問解答・解説

問1　$\theta=2\pi/5$ とおく。ド・モアブルの定理から $z^5=\cos(5\theta)+i\sin(5\theta)=1$。また $z\ne1$ なので $$z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$$ より $z^4+z^3+z^2+z+1=0$。

問2　$|z|=1$ だから $1/z=\overline z$ であり、$t=z+1/z=2\cos\theta$ は実数である。問1の和を $z^2$ で割ると $$\displaystyle z^2+z+1+\frac1z+\frac1{z^2}=0.$$ 一方、$t^2=z^2+2+1/z^2$ なので $z^2+1/z^2=t^2-2$。これを代入すると $t^2+t-1=0$、すなわち $t^2+t=1$。

問3　$c=\cos\theta$ とおけば $t=2c$ だから $4c^2+2c-1=0$。解は $c=(-1\pm\sqrt5)/4$。角 $\theta=2\pi/5$ は $0<\theta<\pi/2$ を満たすため $c>0$ であり、$\cos(2\pi/5)=(\sqrt5-1)/4$。

問4　正五角形の隣り合う頂点と円の中心を結ぶ三角形は、二辺が半径1で中心角が $2\pi/5$ である。余弦定理より一辺の長さを $s$ とすると $$\displaystyle s^2=1^2+1^2-2\cos(2\pi/5) =2-\frac{\sqrt5-1}{2} =\frac{5-\sqrt5}{2}.$$