信州大学 2008年数学第3問解答・解説

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1問題

信州大学2008年度第3問

赤玉8個と白玉4個の入っている袋の中から、同時に7個の玉を取り出す試行について、次の問いに答えよ。(1) 白玉が4個取り出される確率を求めよ。(2) 赤玉が5個以上取り出される確率を求めよ。(3) 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac7{99}$ . (2) $\displaystyle \frac{19}{33}$ . (3) $\displaystyle \frac{14}{3}$ 個.

解答を見る途中式つきの解答

原文・入力

数学の確認

同時に7個を選ぶので全事象は $\displaystyle \binom{12}{7}=792$ 通りで、各組合せは同様に確からしい。

(1) 白玉を4個すべて取る場合、赤玉は3個である。有利な場合は $\displaystyle \binom44\binom83=56$ 通りなので、確率は $56/792=7/99$ 。

(2) 赤玉が5個以上となる赤玉数は5, 6, 7。白玉数を対応させると $\displaystyle \binom85\binom42+\binom86\binom41+\binom87\binom40 =336+112+8=456.$ 確率は $456/792=19/33$ 。

範囲・表示・ラベル

高校数学Aの組合せ・確率・期待値の範囲。期待値は可能な赤玉数を全て列挙して計算したので、玉の選択間の独立性を仮定していない。問題の「同時に7個」に合わせて順序を区別しない組合せを用いた。

**答**

(1) $7/99$ 。

(2) $19/33$ 。

(3) $14/3$ 個。

この問題で使う考え方

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