7信州大学 2008年 数学 第7問解答・解説

解答

楕円上の点を $P(x,y)$ とし、$x>0,\ y>0$ とする。座標を $X=x/2,\ Y=y$ と見れば、対応する点 $(X,Y)$ は単位円 $X^2+Y^2=1$ 上にある。点 $P$ に対応する単位円上の点を $(u,v)=(x/2,y)$ とおく。

単位円の接点 $(u,v)$ への半径 $(u,v)$ は接線に垂直である。接線は $(u,v)$ を通るから、その方程式は $$uX+vY=u^2+v^2=1$$ である。元の座標では $X$ を $X/2$ に戻すので、楕円の接線は $$\displaystyle \frac{xX}{4}+yY=1$$ となる。したがって、元の座標の $x$ 軸・$y$ 軸との交点は $$\displaystyle Q=\left(\frac4x,0\right),\qquad R=\left(0,\frac1y\right).$$ $x,y>0$ より両切片は正であり、 $$\displaystyle QR^2=\frac{16}{x^2}+\frac1{y^2}$$ である。

ここで $t=x^2/4$ とおくと、楕円の条件から $0<t<1$ かつ $y^2=1-t$ なので $$\displaystyle QR^2=\frac4t+\frac1{1-t}.$$ 分母 $t(1-t)$ は正であり、 $$\displaystyle QR^2-9 =\frac{4(1-t)+t-9t(1-t)}{t(1-t)} =\frac{(3t-2)^2}{t(1-t)}\ge 0.$$ 等号は $t=2/3$ のとき成立する。このとき $$\displaystyle x=2\sqrt{t}=\frac{2\sqrt6}{3},\qquad y=\sqrt{1-t}=\frac{\sqrt3}{3}.$$ $QR$ は正だから、求める最小値とそのときの点は $$\displaystyle \boxed{QR_{\min}=3},\qquad \boxed{P=\left(\frac{2\sqrt6}{3},\frac{\sqrt3}{3}\right)}.$$