4信州大学 2008年 数学 第4問解答・解説

正三角形の外接円半径を$\rho_n$、1辺を$a_n$とする。正三角形では$a_n=\sqrt{3}\rho_n$、内接円半径は$\displaystyle a_n\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\rho_n}{2}$である。したがって、$O_n$の半径は$\rho_n/2$であり、これが次の正三角形の外接円半径となるから、$\rho_1=r,\ \rho_{n+1}=\rho_n/2$、よって$\rho_n=r/2^{n-1}$。

(1) 正三角形の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a_n^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\rho_n^2$なので、 $$\displaystyle S_n=\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(\frac{r}{2^{n-1}}\right)^2=\frac{3\sqrt{3}r^2}{4^n}.$$ また、$O_n$の半径は$\rho_n/2=r/2^n$だから、 $$\displaystyle T_n=\pi\left(\frac{r}{2^n}\right)^2=\frac{\pi r^2}{4^n}.$$

(2) よって$\displaystyle U_k=S_k-T_k=\frac{(3\sqrt{3}-\pi)r^2}{4^k}$。有限等比数列の和より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}U_k=(3\sqrt{3}-\pi)r^2\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac14\right)^k=\frac{(3\sqrt{3}-\pi)r^2}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).$$