6信州大学 2008年 数学 第6問解答・解説

対数を自然対数とする。$u>1$ とおき、接線を $t(x)=\log u+(x-u)/u$、線分 $AP$ を含む直線を $\displaystyle c(x)=\frac{\log u}{u-1}(x-1)$ とする。$\log x$ は $x>0$ で上に凸（$(\log x)''=-1/x^2<0$）なので、$1\le x\le u$ では接線が曲線の上、弦が曲線の下にある。

(1) よって、部分積分による $\displaystyle \int\log x\,dx=x\log x-x$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned}S_1(u)&=\int_1^u\left(\log u+\frac{x-u}{u}-\log x\right)dx\\&=(u-1)\log u-\frac{(u-1)^2}{2u}-(u\log u-u+1)\\&=u-1-\log u-\frac{(u-1)^2}{2u}.\end{aligned}$$

一方、 $$\displaystyle \begin{aligned}S_2(u)&=\int_1^u\left(\log x-\frac{\log u}{u-1}(x-1)\right)dx\\&=u\log u-u+1-\frac{u-1}{2}\log u\\&=\frac{u+1}{2}\log u-(u-1).\end{aligned}$$ したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned}S(u)&=S_1(u)-S_2(u)\\&=2(u-1)-\frac{(u-1)^2}{2u}-\frac{u+3}{2}\log u\\&=\frac{3u-2-u^{-1}-(u+3)\log u}{2}.\end{aligned}$$

(2) 微分すると $$\displaystyle S'(u)=\frac12\left(2-\frac3u+\frac1{u^2}-\log u\right),\qquad S''(u)=\frac{-u^2+3u-2}{2u^3}=-\frac{(u-1)(u-2)}{2u^3}.$$ $u>1$ で分母は正であり、$1<u<2$ では $S''(u)>0$、$u>2$ では $S''(u)<0$ だから、凹凸が変わるのは $u=2$ のみである。 $$\displaystyle S(2)=\frac74-\frac52\log2,$$ 従って変曲点は $\displaystyle\left(2,\frac74-\frac52\log2\right)$。

(3) $S'$ は $1<u<2$ で増加し、$S'(1)=0$（式の連続延長）より $1<u<2$ で正である。また $\displaystyle \log2=\int_1^2\frac{dx}{x}<\int_1^2\frac{3-x}{2}dx=\frac34$（差 $\displaystyle \frac{3-x}{2}-\frac1x=\frac{(x-1)(2-x)}{2x}$ は区間内部で正）なので、$\displaystyle S'(2)=\frac12(\frac34-\log2)>0$。一方、$u>2$ では $S''(u)<0$ より $S'$ は厳密に減少し、$\displaystyle \lim\limits _{u\to\infty}S'(u)=-\infty$。したがって中間値の定理と厳密減少性から、$\alpha>2$ かつ $S'(\alpha)=0$ を満たす $\alpha$ がただ一つ存在する。 $$\displaystyle S'(\alpha)=0\quad\text{すなわち}\quad \log\alpha=2-\frac3\alpha+\frac1{\alpha^2}.$$ $S'(u)>0$ は $1<u<\alpha$、$S'(u)<0$ は $u>\alpha$ であるから、$S$ は $u=\alpha$ でただ一つの極大値をとる。さらに $\displaystyle \lim\limits _{u\downarrow1}S(u)=0$ かつ $1<u<2$ で $S'(u)>0$ より $S(2)>0$。ゆえに $S(\alpha)>S(2)>0$ であり、その極大値は正である。