4徳島大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $a=\log 2$ とおくと、$e^a=2$ であるから $$A=(t,e^{-t}),\qquad B=(t-a,2e^{-t}).$$ 座標による三角形の面積公式より、$t\geq 0$ では $t+a>0$ なので $$\displaystyle S=\frac12\left|t\cdot 2e^{-t}-(t-a)e^{-t}\right|=\frac12e^{-t}(t+a).$$ $0<a<1$ である（$e>2$ より）。したがって $$\displaystyle S'=\frac12e^{-t}(1-t-a)$$ の符号は、$0\leq t<1-a$ で正、$t=1-a$ で0、$t>1-a$ で負となる。よって最大値は $t=1-a$ のときであり、 $$\displaystyle S=\frac12e^{-(1-a)}=\frac12\cdot\frac{e^a}{e}=\frac1e.$$

(2) $t=ka$ とすると、$e^{-ka}=2^{-k}$、$e^{-(k-1)a}=2^{-(k-1)}$ だから $$\displaystyle S_k=\frac12\left(ka\,2^{-(k-1)}-(k-1)a\,2^{-k}\right)=\frac{a(k+1)}{2^{k+1}}.$$ $m=n+1$、$\displaystyle T_m=\displaystyle\sum\limits _{j=1}^{m}\frac{j}{2^j}$ とおくと、添字をずらして $$\displaystyle \frac12T_m=\sum\limits _{j=2}^{m+1}\frac{j-1}{2^j}$$ である。したがって $$\displaystyle T_m-\frac12T_m=\frac12+\sum\limits _{j=2}^{m}\frac1{2^j}-\frac{m}{2^{m+1}}=1-\frac1{2^m}-\frac{m}{2^{m+1}},$$ ゆえに $\displaystyle T_m=2-\frac{m+2}{2^m}$。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}S_k=a\sum\limits _{j=2}^{n+1}\frac{j}{2^j}=a\left(T_{n+1}-\frac12\right)=(\log 2)\left(\frac32-\frac{n+3}{2^{n+1}}\right).$$