3徳島大学 2013年 数学 第3問解答・解説

$u=\sqrt{2-a^2},\ v=\sqrt{2-b^2}$ とおく。根号より $u,v\ge0$ で、条件は $$ab+uv=0.$$ これを2乗すると $$a^2b^2=(2-a^2)(2-b^2)=4-2a^2-2b^2+a^2b^2$$ だから $a^2+b^2=2$。したがって $u^2=b^2,\ v^2=a^2$ であり、非負性から $u=|b|,\ v=|a|$。また条件は $ab+|ab|=0$ となるので $ab\le0$、よって $$au+bv=a|b|+b|a|=0,\qquad u^2+v^2=2.$$ 以上で (1) が得られる。

(2) $P=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ とすると $$BP=\begin{pmatrix}ax+uy\\bx+vy\end{pmatrix}.$$ よって $$\begin{aligned} |BP|^2&=(ax+uy)^2+(bx+vy)^2\\ &=(a^2+b^2)x^2+2(au+bv)xy+(u^2+v^2)y^2\\ &=2x^2+2y^2=2|P|^2. \end{aligned}$$ 両辺は非負なので平方根をとり、$|BP|=\sqrt2|P|$。

(3) 行列の積を成分ごとに計算し、(1)の関係を使うと $$AB=\begin{pmatrix}a^2+b^2&au+bv\\au+bv&u^2+v^2\end{pmatrix}=2E.$$

(4) さらに $$BA=\begin{pmatrix}a^2+u^2&ab+uv\\ab+uv&b^2+v^2\end{pmatrix}=2E$$ も成り立つ。したがって $A(B/2)=(B/2)A=E$ および $B(A/2)=(A/2)B=E$ であり、$A^{-1}=B/2,\ B^{-1}=A/2$。条件式は $$\displaystyle \frac52(A+B)=E,\qquad A+B=\frac25E$$ となる。ここで $$A+B=\begin{pmatrix}2a&b+u\\b+u&2v\end{pmatrix}$$ だから、$a=v=1/5,\ b+u=0$。$u=\sqrt{2-a^2}=7/5$ より $b=-7/5$。 $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac15&-\frac75\\[2pt]\frac75&\frac15\end{pmatrix}.$$ 実際 $v=\sqrt{2-b^2}=1/5$ かつ $ab+uv=-7/25+7/25=0$ で、元の条件を満たす。また $A+B=2E/5$、$AB=BA=2E$ より $5(A^{-1}+B^{-1})=5(A+B)/2=E$ となり、最後の条件も満たす。