8愛媛大学 2014年 数学 第8問解答・解説

以下、$A$ は実成分の2次正方行列とする。行列多項式を成分ごとに展開すれば $$\begin{aligned} (A-tE)(A^2+tA+t^2E) &=A^3+tA^2+t^2A-tA^2-t^2A-t^3E\\ &=(1-t^3)E. \end{aligned}$$ 逆順の積も同じ展開で $(1-t^3)E$ となる。

(1) $$\boxed{(A-tE)(A^2+tA+t^2E)=(1-t^3)E}.$$

(2) $t\neq1$ で $$\displaystyle 1-t^3=(1-t)(1+t+t^2),\qquad 1+t+t^2=\left(t+\frac12\right)^2+\frac34>0.$$ ゆえに $1-t^3\neq0$。両順序の積から $$\displaystyle \boxed{(A-tE)^{-1}=\frac{A^2+tA+t^2E}{1-t^3}}.$$

(3)(i) $A=E$ なら $A^2+A+E=3E\neq O$。

(3)(ii) $t=1$ とすると $(A-E)(A^2+A+E)=O$。もし $A-E$ が可逆なら、左からその逆行列を掛けて $A^2+A+E=O$ を得る。これは仮定に反するので、$A-E$ は可逆でない。

(3)(iii) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$\delta=ad-bc$、$\tau=a+d$ とおく。2次行列の積公式は成分展開から $$\det\!\left( \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}\right) =(pu+qw)(rv+sz)-(pv+qz)(ru+sw) =(ps-qr)(uz-vw)$$ となる。従って $A^3=E$ から $\delta^3=1$。$\delta$ は実数なので $\delta=1$。また、2次行列は行列式が0の場合に限り逆行列をもたないから、$A-E$ が可逆でないとき $$0=\det(A-E)=ad-bc-a-d+1=\delta-\tau+1,$$ すなわち $\tau=2$。さらに成分積を計算すると $$A^2-\tau A+\delta E =\begin{pmatrix} a^2+bc-(a+d)a+(ad-bc)&b(a+d)-(a+d)b\\ c(a+d)-(a+d)c&d^2+bc-(a+d)d+(ad-bc) \end{pmatrix}=O.$$ $\tau=2,\delta=1$ を代入すれば $(A-E)^2=O$。$B=A-E$ とおくと、成分積で $$A^3=(E+B)^3=E+3B+3B^2+B^3=E+3B.$$ $A^3=E$ より $3B=O$、したがって $B=O$、つまり $\boxed{A=E}$。固有値や対角化は用いていない。

分類・原本状態 単元：2次正方行列の積・逆行列・行列式。方法：行列多項式の積和、2次行列の成分恒等式。テーマ：$A^3=E$ と $A-E$ の可逆性。

係数体の留保 原文は行列成分の係数体を明記しないため、通常の高校数学に従い実行列と解釈した。複素成分まで許すなら命題(3)(iii)は偽で、$A=\operatorname{diag}(1,\omega)$（$\omega^3=1,\omega\neq1$）が反例となる。