神戸大学 2008年数学第1問解答・解説

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1問題

神戸大学2008年度第1問

実数 $x,y$ に関する次の各命題の真偽を答えよ。さらに，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ。（配点30点）

(1) $x>0$ かつ $xy>0$ ならば， $y>0$ である。

(2) $x\geq 0$ かつ $xy\geq 0$ ならば， $y\geq 0$ である。

(3) $x+y\geq 0$ かつ $xy\geq 0$ ならば， $y\geq 0$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各命題について，正の数または負の数での不等式の除法と反例を用いて真偽を判定した。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

・真。 $x>0$ なので， $xy>0$ の両辺を正の数 $x$ で割ると $\displaystyle y=\frac{xy}{x}>0$ となる。

・偽。 $x=0,\ y=-1$ とすると， $x=0\geq0$ かつ $xy=0\geq0$ であるが， $y=-1<0$ である。

・真。 $y<0$ と仮定する。 $xy\geq0$ を負の数 $y$ で割ると $x\leq0$ となるので， $x+y\leq y<0$ である。これは $x+y\geq0$ に矛盾する。したがって $y\geq0$ である。

この問題で使う考え方

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