3神戸大学 2008年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ である。

(1) $n=4k$ のとき、$S=2k(4k+1)$ だから偶数である。

$n=4k+3$ のとき、$S=(4k+3)(2k+2)=2(4k+3)(k+1)$ だから偶数である。

(2) $S$ が偶数ならば $n(n+1)=2S$ は4の倍数である。$n=4k+r\ (r=0,1,2,3)$ とおく。$r=1$ なら $n(n+1)\equiv1\cdot2\equiv2\pmod4$、$r=2$ なら $n(n+1)\equiv2\cdot3\equiv2\pmod4$ となり、いずれも4の倍数であることに反する。よって $r=0$ または $r=3$ である。

(3) $S$ が4の倍数ならば $n(n+1)=2S$ は8の倍数である。$n,n+1$ のうち偶数を $2m$、奇数を $q$ とおくと、$8\mid 2mq$ より $4\mid mq$ である。$q$ は奇数だから $q\equiv1$ または $3\pmod4$ であり、$m\not\equiv0\pmod4$ なら $mq\not\equiv0\pmod4$ となる。したがって $4\mid m$、すなわち偶数の方は8の倍数である。偶数の方が $n$ なら $n\equiv0\pmod8$、$n+1$ なら $n\equiv7\pmod8$ である。