4神戸大学 2008年 数学 第4問解答・解説

直線lの方程式は$y=ax+3$である。

(1) 線分BC上の点は$x=2,\quad1\leq y\leq2$を満たす。lとBCの交点のy座標は$3+2a$であり、交点はB,Cと異なるから、$1<3+2a<2$である。したがって$$\displaystyle -1<a<-\frac12.$$

(2) lとABの交点をR、lとCDの交点をSとする。$y=2$および$y=1$をそれぞれlに代入すると、Rのx座標は$-1/a$、Sのx座標は$-2/a$である。(1)より、$-1/a$は$1$と$2$の間、$-2/a$は$2$と$4$の間にある。したがって、回転断面の外半径・内半径を用いて$$\displaystyle V_1=\pi\int_{-1/a}^{2}\{4-(ax+3)^2\}\,dx,\qquad V_2=\pi\int_{2}^{-2/a}\{(ax+3)^2-1\}\,dx.$$$$\displaystyle \int\{4-(ax+3)^2\}dx=-5x-3ax^2-\frac{a^2x^3}{3}$$であるから$$\displaystyle \frac{V_1}{\pi}=\left[-5x-3ax^2-\frac{a^2x^3}{3}\right]_{-1/a}^{2}=-10-12a-\frac{8}{3}a^2-\frac{7}{3a}.$$また$$\displaystyle \int\{(ax+3)^2-1\}dx=\frac{a^2x^3}{3}+3ax^2+8x$$より$$\displaystyle \frac{V_2}{\pi}=\left[\frac{a^2x^3}{3}+3ax^2+8x\right]_{2}^{-2/a}=-16-12a-\frac{8}{3}a^2-\frac{20}{3a}.$$ゆえに$$\displaystyle V=V_1+V_2=\pi\left(-\frac9a-26-24a-\frac{16}{3}a^2\right).$$

(3) (2)の式から、$$\displaystyle \frac{V}{\pi}-1=-\frac9a-27-24a-\frac{16}{3}a^2=\frac{(4a+3)^2(a+3)}{-3a}.$$範囲$-1<a<-1/2$では$a+3>0$かつ$-3a>0$なので、$V-\pi\geq0$である。等号は$4a+3=0$、すなわち$a=-3/4$のときに限り成立し、この値は範囲内にある。したがって$V$は$a=-3/4$のとき最小値$\pi$をとる。