5神戸大学 2008年 数学 第5問解答・解説

(1) 二項定理から $\displaystyle (1+x)^n=\sum\limits _{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^j$ です。$x=1$を代入すれば $\displaystyle 2^n=\sum\limits _{j=0}^{n}\binom{n}{j}$。$x=-1$を代入すれば $(1-1)^n=0$（$n$は自然数）で、$\displaystyle 0=\sum\limits _{j=0}^{n}(-1)^j\binom{n}{j}$を得ます。

(2) $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とおくと、基本の行列積で $S^2=I$ です。よって $k$が偶数なら $S^k=I$、奇数なら $S^k=S$ です。

(3) 原本には各 $M_i$ の周辺確率が書かれていますが、$M_1,\ldots,M_n$を独立に選ぶとは明記されていません。周辺確率だけでは積が $I$ となる確率は一意に決まりません。独立に選ぶ追加条件を置くと、零行列が一つでもあれば積は零行列です。零行列がなく、$S$を選ぶ回数$j$が偶数なら積は $I$ です。具体的な列の確率は $(1/3)^n$ で、条件を満たす列の数は $\displaystyle \sum\limits _{j\text{ 偶数}}\binom nj=2^{n-1}$（$n\ge1$）です。したがって独立選択時は $2^{n-1}/3^n$ です。

独立性がないと値が変わり得ることも確認します。すべての $i$ で $M_i=Z$ とし、$Z$ が $I,S,O$ を各 $1/3$ でとるようにすれば、各 $M_i$ の周辺確率は原文どおりです。このとき $n$ が偶数なら積が $I$ となる確率は $2/3$、$n$ が奇数なら $1/3$ です。よって原文の条件だけでは答えが決まりません。