神戸大学 2008年数学第2問解答・解説

図形と方程式

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1問題

神戸大学2008年度第2問

$xy$ 平面上に3点 $A(1,0), B(-1,0), C(0,\sqrt{3})$ をとる。このとき，次の問に答えよ。（配点30点）

(1) $A,B$ の2点を中心とする同じ半径 $r$ の2つの円が接する。このような $r$ の値を求めよ。

(2) (1)で求めた $r$ の値について， $C$ を中心とする半径 $r$ の円が， $A,B$ の2点を中心とする半径 $r$ の2つの円のどちらとも接することを示せ。

(3) $A,B,C$ の3点を中心とする同じ半径 $s$ の3つの円が直線 $l$ に接する。このような $s$ の値と直線 $l$ の方程式をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $r=1$ 。 (2) $AC=BC=2=1+1$ より、C円はA円・B円の双方に外接。 (3) $\displaystyle s=\frac{\sqrt3}{2}$ 、 $\displaystyle \ell\text{ は }y=\frac{\sqrt3}{2},\quad\sqrt3x+y=0,\quad\sqrt3x-y=0$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解説

(1) AとBの距離は2です。半径が等しい2円の内接は、中心が一致するときだけ起きます。AとBは異なる点なので、接する場合は外接で、中心間距離は半径の和 $(2r)$ 。よって $(r=1)$ です。

(2) CからA、CからBまでの距離はどちらも2で、これは2つの円の半径の和 $(1+1)$ に等しいため、どちらの円とも外接します。

(3) 直線の一般形を使うと、3つの中心から直線までの距離が等しい条件を絶対値の式にできます。まずAとBから等距離となる条件から $(a=0)$ または $(c=0)$ 。それぞれを残りの距離条件へ代入すると、水平線1本と斜線2本が得られます。距離式を各場合に戻して、3本すべての共通距離が $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2})$ であることを確かめます。

この問題で使う考え方

座標による距離
直線の方程式

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