2宮崎大学 2008年 数学 第2問解答・解説

三角形の内部または周上にあるので、$0\leq a\leq 1$、$0\leq b\leq 2a$ である。

辺 $OA$ は $y=0$ であり、垂線の足 $(a,0)$ は線分 $OA$ 上にあるから、点 $P$ から $OA$ までの距離は $b$ である。辺 $AB$ は $x=1$ であり、$0\leq b\leq 2$ より垂線の足 $(1,b)$ は線分 $AB$ 上にあるので、その距離は $1-a$ である。

辺 $BO$ の直線は $y=2x$ である。この直線への垂線の足を $(t,2t)$ とすると、$(a,b)-(t,2t)$ と方向ベクトル $(1,2)$ が垂直だから $t=(a+2b)/5$ となる。条件から $0\leq a+2b\leq 5a\leq 5$ であり、$0\leq t\leq 1$ なので垂線の足は線分 $BO$ 上にある。直線 $BO$ の方程式を $2x-y=0$ として距離を求めると、$b\leq 2a$ より距離は $(2a-b)/\sqrt5$ である。したがって、 $$\displaystyle k=b+(1-a)+\frac{2a-b}{\sqrt5}=1+\left(\frac{2}{\sqrt5}-1\right)a+\left(1-\frac{1}{\sqrt5}\right)b.$$ よって (1) を得る。

次に、$\lambda_O=1-a$、$\lambda_A=a-b/2$、$\lambda_B=b/2$ とおくと、いずれも非負で、$\lambda_O+\lambda_A+\lambda_B=1$ である。また、$P=\lambda_O O+\lambda_A A+\lambda_B B$ である。(1) の式は一次式なので、頂点での値を同じ重みで平均すると $$\displaystyle k=(1-a)k(O)+\left(a-\frac b2\right)k(A)+\frac b2 k(B).$$ 各頂点での値は $k(O)=1$、$k(A)=2/\sqrt5$、$k(B)=2$ である。$2/\sqrt5<1<2$ だから、$k$ はこれらの値の重み付き平均として最小値 $2/\sqrt5$（$P=A$ のとき）、最大値 $2$（$P=B$ のとき）をとる。よって (2) の答えを得る。