5宮崎大学 2008年 数学 第5問解答・解説

Classification: PASS. This source-based supplement reviews adopted answer A048 against the original page. It is not evidence of a fresh blind independent answer. The answer is correct and is retained. (1) 周の長さ 座標から $$PQ=PR=\sqrt{\ell^2+2\ell\cos\theta+1},\qquad QR=2\sin\theta$$ なので、$f(\theta)=2\sqrt{\ell^2+2\ell\cos\theta+1}+2\sin\theta$。

(2) 最大値 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ とおくと、$x^2+y^2=1$、$x\ge0$、$y>0$ である。$d=\sqrt{(\ell+x)^2+y^2}$ とおけば $f/2=d+y$。方向への射影による長さの表示とコーシー・シュワルツの不等式を用いると $$d+y\leq F(\alpha)=\ell\cos\alpha+\sqrt{2+2\sin\alpha},\qquad 0\leq\alpha\leq\pi/2.$$ $s=\sin\alpha$ とおくと $$\displaystyle F'(\alpha)=-\ell\sin\alpha+\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2+2\sin\alpha}}$$ の符号は、$2\ell^2s^2+s-1$ の符号と逆になる。この多項式は $s\ge0$ で、$s$ が大きくなると値が必ず大きくなり、$s=0$ で負、$s=1$ で正である。したがって $$\displaystyle s_0=\frac{2}{1+k},\qquad k=\sqrt{1+8\ell^2}$$ が最大値を与える正弦の値としてただ一つ定まり、 $$\displaystyle F(\alpha_0)=\frac{k+3}{2}\sqrt{\frac{k+3}{2(k+1)}}.$$ 等号を実現する点は $$\displaystyle x_0=\frac{\cos\alpha_0}{\sqrt{2+2s_0}},\qquad y_0=\frac{1+s_0}{\sqrt{2+2s_0}}.$$ 導関数が0となる条件から $x_0=\ell s_0>0$、$y_0/(\ell+x_0)=\tan\alpha_0$ となる。この点は許容範囲の内部にあり、二つの不等式で等号が成り立つ。したがって $$\displaystyle \max f=2F(\alpha_0)=\frac{(3+\sqrt{1+8\ell^2})^{3/2}}{\sqrt{2(1+\sqrt{1+8\ell^2})}}.$$

Disposition A048's perimeter and maximum are correct. The maximizing point lies in $0<\theta<\pi/2$, as the problem requires. No unresolved mathematical issue was found. The queue's PDF hash was null; the actual PDF hash is recorded in audit.json. The adopted answer and tags are retained.