3宮崎大学 2008年 数学 第3問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

座標設定 $A$ を原点とし、直交単位ベクトル $\vec a=\overrightarrow{AE},\vec b=\overrightarrow{AB},\vec c=\overrightarrow{AD}$ を用いる。各点の係数表示は $$\displaystyle P=(0,t,0),\quad X=(1,\tfrac34,0),\quad Z=(0,\tfrac12,1),\quad GH:\ (1,s,1)$$ である。$Y=(1,s,1)$ とする。

(1) $\overrightarrow{PY}$ $P,X,Z$ を通る平面を $ux+vy+wz=k$ とおく。3点を代入し $v=1$ と規格化すると $$\displaystyle k=t,\quad u=t-\frac34,\quad w=t-\frac12.$$ したがって平面上の $GH$ の点では $$\displaystyle (t-\tfrac34)+s+(t-\tfrac12)=t, \quad s=\frac54-t.$$ ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{PY}=\vec a+(s-t)\vec b+\vec c =\boxed{\vec a+(\tfrac54-2t)\vec b+\vec c}.$$

(2) $Y$ が辺 $GH$ 上 辺上である条件は $0\le s\le1$。$s=5/4-t$ と $0<t<1$ より $$\displaystyle \boxed{\frac14\le t<1}.$$

(3) ひし形となる条件 各辺ベクトルを $PX,XY,YZ,ZP$ の順に書くと $$\displaystyle (1,\tfrac34-t,0),\quad(0,\tfrac12-t,1),\quad(-1,t-\tfrac34,0),\quad(0,t-\tfrac12,-1).$$ 直交単位基底なので各辺の長さの二乗はそれぞれ $$\displaystyle 1+(\tfrac34-t)^2,\quad1+(\tfrac12-t)^2,\quad1+(t-\tfrac34)^2,\quad1+(t-\tfrac12)^2.$$ よって全辺が等しい条件は $(3/4-t)^2=(1/2-t)^2$。これを解くと $t=5/8$（もう一方の等式分岐は矛盾）であり、範囲内である。答えは $$\displaystyle \boxed{t=\frac58}.$$

単元・方法・テーマ 単元：数学C「ベクトル」。方法：直交座標ベクトル、3点を通る平面の一次方程式、辺上の媒介変数、ベクトルの長さの二乗。テーマ：立方体内の平面切断とひし形条件。