3久留米大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1)

直線を標準形にすると $$\displaystyle y=-\frac13x+2\text{であるための必要十分条件は} x+3y-6=0.$$ 点 $(0,3)$ とこの直線との距離は $$\displaystyle \frac{|0+3\cdot3-6|}{\sqrt{1^2+3^2}} =\frac{3}{\sqrt{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$ したがって $$\boxed{\text{ソ}=3},\qquad \boxed{\text{タチ}=10},\qquad \boxed{\text{ツテ}=10}.$$

(2)

与えられた式を点 $(0,3)$ からの距離で書き直すと $$x^2+y^2-6y=x^2+(y-3)^2-9.$$ 領域の条件 $\displaystyle y\le-\frac13x+2$ は $x+3y-6\le0$ である。点 $C=(0,3)$ では $x+3y-6=3$ なので、領域は直線 $x+3y-6=0$ の反対側の半平面内にあり、どの領域内の点も $C$ からこの直線までの距離 $3/\sqrt{10}$ より近くならない。

この直線への垂線の足は、法線方向 $(1,3)$ に沿って $C$ から $3/10$ だけ進んだ点 $$\displaystyle P=(0,3)-\frac{3}{10}(1,3) =\left(-\frac{3}{10},\frac{21}{10}\right)$$ である。実際、 $$\displaystyle \frac{21}{10}\ge-\frac{3}{10},\qquad \frac{21}{10}\ge-2\left(-\frac{3}{10}\right),\qquad \frac{21}{10}=-\frac13\left(-\frac{3}{10}\right)+2$$ なので $P$ は与えられた領域に属する。従って領域上での最短距離は $CP=3/\sqrt{10}$ であり、 $$\displaystyle \min(x^2+y^2-6y) =\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2-9 =\frac9{10}-9 =-\frac{81}{10}.$$ よって $$\boxed{\text{ト}=3},\quad \boxed{\text{ナニ}=10},\quad \boxed{\text{ヌネ}=21},\quad \boxed{\text{ノハ}=10},\quad \boxed{\text{ヒフ}=81},\quad \boxed{\text{ヘホ}=10}.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{ソ}=3,\ \text{タチ}=10,\ \text{ツテ}=10},\qquad \boxed{(x,y)=\left(-\frac3{10},\frac{21}{10}\right)},\qquad \boxed{\min(x^2+y^2-6y)=-\frac{81}{10}}.$$

使用した解法

点と直線の距離、垂線の足、領域の半平面条件、平方完成を用いた。