6久留米大学 2020年 数学 第6問解答・解説

関数 $f(x)=x^2\log x$ の定義域は $x>0$ である。

(1)

積の微分法より $$f'(x)=2x\log x+x=x(2\log x+1).$$ したがって $$\boxed{\text{き}=2},\qquad \boxed{\text{く}=1}.$$ $x>0$ なので、導関数の符号は $2\log x+1$ の符号で決まる。臨界点は $$2\log x+1=0\quad\text{すなわち}\quad x=e^{-1/2}.$$ $0<x<e^{-1/2}$ では $f'(x)<0$、$x>e^{-1/2}$ では $f'(x)>0$ だから、ここで極小値をとる。その値は $$\displaystyle f(e^{-1/2})=(e^{-1/2})^2\log(e^{-1/2}) =e^{-1}\left(-\frac12\right) =-\frac{1}{2e}.$$ よって原本の分母配置に従い $$\boxed{\text{け}=1},\qquad \boxed{\text{こ}=2}.$$

(2)

$x\to0+$ のとき $f(x)\to0-$ である。例えば $u=1/x\to\infty$ とおくと $$\displaystyle |x^2\log x|=\frac{\log u}{u^2}\to0;$$ この極限は $u\ge1$ において $$\displaystyle 0\le\frac{\log u}{u^2} \le\frac{2\sqrt{u}}{u^2} =\frac{2}{u^{3/2}}\to0$$ から分かる。また $f(1)=0$、$f(x)\to+\infty$（$x\to\infty$）である。

(1)の増減とこれらの端点値から、$f$ は $0<x<1$ で負となり、$x=e^{-1/2}$ で $-1/(2e)$ をとる。$x>1$ では0から単調に増加する。したがって方程式 $|f(x)|=k$ の解の個数は次のとおりである。

- $k<0$ なら解はない。 - $k=0$ なら $f(x)=0$ より $x=1$ の1個。 - $0<k<1/(2e)$ なら、負の部分に2個、正の部分 $x>1$ に1個で、計3個。 - $k=1/(2e)$ なら極小点 $x=e^{-1/2}$ と正の部分 $x>1$ に各1個で、計2個。 - $k>1/(2e)$ なら負の部分には解がなく、正の部分 $x>1$ に1個。

ゆえに実数解の個数が1個となるのは $$\displaystyle k=0,\qquad k>\frac{1}{2e}$$ のときである。したがって $$\boxed{\text{さ}=0},\qquad \boxed{\text{し}=1},\qquad \boxed{\text{す}=2}.$$

最終答案

$$\boxed{\text{き}=2,\ \text{く}=1,\ \text{け}=1,\ \text{こ}=2},\qquad \boxed{\text{さ}=0,\ \text{し}=1,\ \text{す}=2}.$$

使用した解法

積の微分、導関数の符号による増減、端点極限と場合分けによる方程式の解の個数の判定を用いた。