2東京慈恵会医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 積分を変数変換 $u=x-t$ により $$\displaystyle I_n(x)=\int_0^x e^{-t}f_n(x-t)\,dt=e^{-x}\int_0^x e^u f_n(u)\,du$$ と書く。微積分の基本定理より $I_n'(x)=-I_n(x)+f_n(x)$ である。一方、与式から $I_n(x)=f_n(x)-e^{-x}x^{n+1}$ なので $$I_n'(x)=e^{-x}x^{n+1}.$$ したがって与式を微分して $$\begin{aligned} f_n'(x)&=e^{-x}\bigl((n+1)x^n-x^{n+1}\bigr)+I_n'(x)\\ &=(n+1)e^{-x}x^n. \end{aligned}$$

(2) $g(x)=e^{-x}x^m$ とおくと、$x>0$ で $$g'(x)=e^{-x}x^{m-1}(m-x).$$ よって $g$ は $0<x<m$ で増加し、$x>m$ で減少するから、最大値は $x=m$ でとる。したがって $$e^{-x}x^m=g(x)\leq g(m)=e^{-m}m^m.$$

(3) 与式で $x=0$ とすると $f_n(0)=0$ である。(1)を積分して $$\displaystyle f_n(x)=(n+1)\int_0^x e^{-t}t^n\,dt.$$ 部分積分を繰り返すと $$\displaystyle \int_0^x e^{-t}t^n\,dt=n!\left(1-e^{-x}\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}\right)$$ を得る。さらに (2) を $m=j+2$ に適用すると、各 $j=0,1,\ldots,n$ について $$\displaystyle 0\leq e^{-x}x^j=\frac{e^{-x}x^{j+2}}{x^2}\leq\frac{e^{-(j+2)}(j+2)^{j+2}}{x^2}\longrightarrow0\quad(x\to\infty).$$ よって括弧内の有限和の各項は0に収束し、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f_n(x)=(n+1)n!=(n+1)!$$ である。